Estabilidad
de columnas
En el análisis lineal de estructuras a un aumento de las
cargas exteriores corresponde un aumento proporcional de las deformaciones y de
los esfuerzos internos, con lo que es posible ir aumentando las cargas, y todas
las soluciones obtenidas son válidas (hasta alcanzar los límites del material).
Sin embargo, la experiencia demuestra que existen unos
valores de las cargas para los cuales la estructura se deforma de una manera
excesiva, mucho mayor que lo que correspondería para dichas cargas en el rango
lineal, y al producirse estas deformaciones excesivas se anula la capacidad de
la estructura para soportar las fuerzas exteriores, provocando su colapso, todo
ello sin que se supere el límite elástico del material. Estos valores de las
cargas que provocan el colapso de la estructura se denominan cargas críticas de
pandeo o de colapso. Se dice también que la estructura es inestable para dicho
valor de las cargas, pues experimenta un crecimiento sin límite de las
deformaciones, aún sin un aumento de las cargas exteriores.
El estudio de la estabilidad estructural trata por lo tanto
de determinar los valores de las cargas críticas que provocan el colapso por
grandes deformaciones. Para este estudio es necesario suponer que las
deformaciones no son pequeñas, y en consecuencia la posición deformada de la
estructura no puede confundirse con la posición sin deformar. Por lo tanto las
ecuaciones de equilibrio se deben plantear ahora en la posición deformada, y no
en la inicial.
Los conceptos de carga crítica y estabilidad del equilibrio
pueden ponerse de manifiesto con gran facilidad mediante el siguiente ejemplo
sencillo.
Considérese el sistema mostrado en la figura siguiente, en el
que la barra se supone infinitamente rígida, y por lo tanto sólo el muelle de
torsión acumula energía. Un análisis de primer orden, planteando el equilibrio
en la posición indeformada, indica que la barra está sometida a una compresión
de valor P y que el resorte está descargado. Sin embargo, si se plantea el
equilibrio en la posición deformada se obtiene que el resorte tiene un par de
valor PLsinθ.
Es posible obtener más información sobre la estabilidad del
sistema efectuando un análisis de segundo orden, considerando la expresión
exacta del potencial total del sistema:
Para que haya equilibrio este potencial debe ser
estacionario:
Esta ecuación se satisface de dos formas. Si θ=0 cualquier valor
de P la satisface, lo cual corresponde con la solución del análisis de primer
orden, que permite cualquier valor de P. También se cumple la ecuación de
equilibrio anterior si el valor de P es:
Esta es la relación entre la carga axial P y el giro θ en
cualquier posición de equilibrio, y en ella se observa que para θ=0 la carga
vale P=k/L. Esto indica que k/L es un valor crítico de la carga, que hace pasar
a la barra de la situación inicial θ=0 a una situación en la que la barra
comienza a girar y el muelle empieza a tener esfuerzo. Este valor de la carga
se denomina punto de bifurcación del equilibrio, y en él se pasa de la solución
de primer orden a la de segundo.
La figura siguiente muestra la representación gráfica del
comportamiento del sistema. Para valores de la carga inferiores a k/L, el giro
es nulo θ=0. Al alcanzarse dicho valor crítico k/L, se produce el colapso, y la
barra comienza a girar. A partir de ese valor de la carga, el comportamiento es
el indicado por el análisis de segundo orden.
Para estudiar la estabilidad del sistema se calcula la
derivada segunda del potencial:
Para la solución de primer orden, con θ=0, es decir con
P<k/L, su valor es:
Se observa que si P<k/L la derivada segunda de Π es
positiva y el equilibrio es estable. Por lo tanto en toda la solución de primer
orden el sistema es estable. Para la solución post-colapso (P>k/L), se
sustituye el valor de la carga crítica en la derivada del potencial:
Esta magnitud es siempre positiva, por lo que el equilibrio
es también estable en el comportamiento post-colapso.
" Documento extraido de: Resumen de estabilidad de columnas
Resumen del capítulo 14 del libro “Curso de Análisis
Estructural” (Ed. Eunsa, 2003)"
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